Durchschnittsrechner
Der Online-Durchschnittsrechner erleichtert das Finden des Durchschnitts für jeden Datensatz. Sie können Ihre Daten in das Datenfeld eingeben, kopieren und einfügen. Achten Sie darauf, jeden Datenpunkt durch ein Komma zu trennen. Klicken Sie dann auf die Schaltfläche "Berechnen".
Der Durchschnittsrechner zeigt Ihnen den Durchschnitt (arithmetisches Mittel), die Berechnungsschritte und andere verwandte Statistiken für den Datensatz an.
Der Durchschnitt
Der Durchschnitt ist definiert als der Mittelwert der Werte in einem Datensatz. Alle Werte im Datensatz werden zur Berechnung des Durchschnitts verwendet. Daher repräsentiert er den gesamten Datensatz. Der Durchschnitt gilt als eines der wichtigsten Maße für zentrale Tendenz oder Zusammenfassung.
Das einfache arithmetische Mittel ist der gebräuchlichste Durchschnitt. Es gibt jedoch mehrere Arten von Durchschnittswerten, darunter das geometrische Mittel, das gewichtete Mittel, das kombinierte arithmetische Mittel, das harmonische Mittel und so weiter.
Der Durchschnitt einer Grundgesamtheit wird durch μ (Mu) und der Durchschnitt einer Stichprobe durch X̄ (X quer) dargestellt.
Einfacher Durchschnitt
Der einfache Durchschnitt wird berechnet, indem die Werte des Datensatzes durch die Gesamtzahl der Datenelemente dividiert werden. Der einfache Durchschnitt wird manchmal als Mittelwert, arithmetisches Mittel und Durchschnitt bezeichnet.
Um den Durchschnitt einer Grundgesamtheit zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden.
μ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Grundgesamtheit = ΣX / N
Um den Durchschnitt einer Stichprobe zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden:
X̄ = Summe der Werte des Datensatzes / Gesamtzahl der Datenwerte in der Stichprobe = ΣX/n
Lassen Sie uns den Durchschnitt anhand des folgenden Beispiels kennenlernen.
Beispiel:
Jasmines Punkte für sieben Fächer aus dem vorherigen Semester sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Was ist der Durchschnitt von Jasmines Punkten aus dem vorherigen Semester?
| Fach |
Punkte |
| Management |
84 |
| Kommunikation |
90 |
| Buchhaltung |
75 |
| Wirtschaft |
60 |
| Betriebsstatistik |
85 |
| Internationale Studien |
92 |
| Mathematik |
81 |
Lösung:
Der Durchschnittspunkt = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81
Der Durchschnitt ist ein Konzept, mit dem jeder vertraut ist. Das Durchschnittseinkommen, die durchschnittlichen Produktionskosten, die Durchschnittspreise, die Durchschnittspunkte, der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch usw. sind einige Beispiele, die Sie oft gehört haben könnten. Selbst im Alltag ist der einfache Durchschnitt eine Standardberechnung. Der einfache Durchschnitt oder das einfache arithmetische Mittel wird auch als idealer Durchschnitt bezeichnet.
In einigen Situationen verwenden wir jedoch andere Maße der zentralen Tendenz. Werfen wir einen Blick darauf.
Geometrisches Mittel
Das arithmetische Mittel ist keine geeignete Messung, wenn man die durchschnittliche Wachstumsrate eines Wertes über die Zeit bestimmt. Das geometrische Mittel, das häufig in der Buchhaltung und im Finanzwesen verwendet wird, wie z.B. bei der Berechnung von Zinseszinsen, ist ein viel besserer Indikator für solche Berechnungen. Das liegt daran, dass die Wachstumsrate multiplikativ und nicht additiv ist.
Das geometrische Mittel Ihres Datensatzes ist definiert als die n-te Wurzel des Produkts von n Elementen. Es wird berechnet, indem jeder Wert miteinander multipliziert und dann die n-te Wurzel des Produkts berechnet wird, wobei n die Anzahl der Elemente im Datensatz ist. Das geometrische Mittel ist hilfreich beim Mitteln von Verhältnissen, Prozentsätzen und Wachstumsraten.
Geometrisches Mittel = n√(x₁×x₂×x₃×…×xₙ) = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^(1/n)
Wir werden das geometrische Mittel des vorherigen Beispiels finden.
Geometrisches Mittel = ⁷√(84×90×75×60×85×92×81) = 80.31
Das geometrische Mittel ist immer kleiner oder gleich dem einfachen Durchschnitt (arithmetisches Mittel).
In unserem Beispiel:
Geometrisches Mittel ≤ Der Durchschnitt
80.31 < 81
Sie können den Durchschnittsrechner verwenden, um mehr als nur das arithmetische Mittel zu bestimmen. Sie können ihn auch verwenden, um das geometrische Mittel Ihres Datensatzes zu erhalten.
Gewichtetes Mittel
Im einfachen arithmetischen Mittel haben alle Werte dasselbe Gewicht oder dieselbe Wichtigkeit. Aber in einigen Fällen können wir nicht dasselbe Niveau der Wichtigkeit auf jeden Wert in unserem Datensatz anwenden.
In unserem Beispiel haben wir den Durchschnitt berechnet, indem wir alle Punkte addiert und durch die Gesamtzahl der Fächer dividiert haben. Wir haben die relative Wichtigkeit jedes Fachs nicht berücksichtigt.
Das gewichtete Mittel muss verwendet werden, wenn wir bei der Berechnung des Durchschnitts die relative Wichtigkeit jedes Elements unseres Datensatzes berücksichtigen müssen. Das gewichtete Mittel wird berechnet, indem die gewichteten Werte durch die Summe der Gewichte dividiert werden. Der gewichtete Wert ist der Datenwert multipliziert mit dem entsprechenden Gewicht.
Wir können die folgende Formel verwenden, um das gewichtete Mittel zu finden.
Das gewichtete Mittel = Die Summe der gewichteten Werte / Die Summe der Gewichte = ΣWX / ΣW
Beispiel:
Angenommen, jedes der Fächer im vorherigen Beispiel hat ein anderes Gewicht. Die aktualisierte Datentabelle für Jasmines Punkte in 7 Fächern des vorherigen Semesters ist wie folgt.
Gewichtetes Mittel von Jasmines Punkten aus dem vorherigen Semester:
| Fach |
Punkte |
Gewicht |
| Management |
84 |
3 |
| Kommunikation |
90 |
2 |
| Buchhaltung |
75 |
4 |
| Wirtschaft |
60 |
3 |
| Betriebsstatistik |
85 |
3 |
| Internationale Studien |
92 |
2 |
| Mathematik |
81 |
3 |
Lösung:
Das gewichtete Durchschnittspunkte = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7
Der Median
Der Median ist der mittlere Wert einer Datensammlung, wenn sie aufsteigend (vom niedrigsten zum höchsten Wert) oder absteigend (vom höchsten zum niedrigsten Wert) angeordnet ist. Mit anderen Worten, der Median ist der Punkt, an dem das Datenarray (Ein Array ist eine Anordnung von Rohdaten in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge der Werte) in 2 gleiche Teile unterteilt wird. Als Ergebnis liegen 50% der Werte unter dem Median und 50% liegen über dem Median.
Die Median-Berechnungsmethode
Beim Finden des Medians müssen wir zuerst die Position des Medians mit der folgenden Formel finden:
Die Position des Medians = ((n+1)/2)-tes Element
Das "n" bezeichnet die Gesamtanzahl der Elemente im Datensatz.
Wenn die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz ungerade ist, ist der Wert des Elements an der mittleren Position der Median. Angenommen jedoch, die Gesamtzahl der Elemente im Datensatz ist eine gerade Zahl. In diesem Fall ist der Durchschnitt zwischen den beiden Zahlen in der Mitte der Median.
Unterschiede zwischen dem Mittelwert und dem Median
- Der Mittelwert oder Durchschnitt wird berechnet, indem alle Werte in einem Datensatz summiert und dann durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert werden. Er gibt uns einen Wert, der jeden Punkt im Datensatz berücksichtigt. Im Gegensatz dazu ist der Median der mittlere Wert in einem Datensatz, der von niedrigsten zu höchsten geordnet ist, und bietet einen zentralen Punkt, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, berücksichtigt aber nicht die Größe aller Werte.
- Sowohl der Mittelwert als auch der Median können aus einer grafischen Darstellung der Daten visuell geschätzt werden. Der Mittelwert kann in einer symmetrischen Verteilung grob geschätzt werden, da er im Zentrum liegen sollte, während der Median beispielsweise als mittlerer Wert in einem Boxplot bestimmt werden kann.
- Sowohl der Mittelwert als auch der Median haben ihre Verwendung in weiteren statistischen Analysen. Der Mittelwert ist besonders nützlich für Daten, die normalverteilt sind und keine Ausreißer enthalten, da er in Berechnungen von Varianz und Standardabweichung enthalten ist. Der Median ist als Maß für die zentrale Tendenz wertvoll, wenn die Daten verzerrt sind oder Ausreißer enthalten, und er wird häufig in nichtparametrischen statistischen Tests verwendet, die keine spezifische Datenverteilung voraussetzen.
Wann man den Mittelwert verwendet
Der Mittelwert ist das geeignetste Maß für die zentrale Tendenz, wenn der Datensatz eine symmetrische Verteilung ohne Ausreißer hat oder wenn Ausreißer entfernt wurden.
Wann man den Median verwendet
Der Mittelwert ist keine gute Darstellung des Datensatzes, wenn er durch Ausreißer verzerrt ist oder wenn der Datensatz nicht symmetrisch verteilt ist oder wenn der Datensatz verzerrt ist. Ausreißer sind Datenpunkte, die deutlich kleiner oder größer als die anderen Werte im Datensatz sind. Wenn Ausreißer in einem Datensatz vorhanden sind, wird der Mittelwert oder Durchschnitt stark von diesen Werten beeinflusst.
Lassen Sie uns das vorherige Beispiel ändern, um Ausreißer zu verstehen.
Beispiel:
Angenommen, Jasmines Punkte für Internationale Studien betrugen 15 statt 92. Was ist der Durchschnitt von Jasmines Punkten für das vorherige Semester mit dieser neuen Punktzahl?
| Fach |
Punkte |
| Management |
84 |
| Kommunikation |
90 |
| Buchhaltung |
75 |
| Wirtschaft |
60 |
| Betriebsstatistik |
85 |
| Internationale Studien |
15 |
| Mathematik |
81 |
Lösung:
Der Durchschnittspunkte = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70
Der neue Durchschnitt beträgt 70. Das ist eine Verringerung um 11 Punkte vom ursprünglichen Durchschnitt von 81. Sie können den Einfluss des Ausreißers auf den Durchschnitt sehen.
In diesem Fall ist der Median der Daten ein besseres Maß für die zentrale Tendenz als der Mittelwert. Um dies zu verstehen, berechnen wir den Median für beide, das ursprüngliche und das modifizierte Beispiel.