حاسبة المتوسط
تجعل حاسبة المتوسط عبر الإنترنت من السهل العثور على المتوسط لأي مجموعة بيانات. يمكنك كتابة البيانات أو نسخها والصقها في مربع البيانات. تأكد من فصل كل نقطة بيانات بفاصلة. ثم انقر على زر "حساب".
ستعرض حاسبة المتوسط المتوسط (المتوسط الحسابي) وخطوات الحساب والإحصائيات الأخرى ذات الصلة لمجموعة البيانات.
المتوسط
المتوسط يُعرَّف بأنه متوسط القيم في مجموعة البيانات. تُستخدم جميع القيم في مجموعة البيانات لحساب المتوسط. لذلك، يمثل مجموعة البيانات بأكملها. يُعتبر المتوسط أحد أهم مقاييس الاتجاه المركزي أو الملخص.
المتوسط الحسابي البسيط هو الأكثر شيوعاً. ومع ذلك، هناك عدة أنواع من المتوسطات، بما في ذلك المتوسط الهندسي والمتوسط المرجح والمتوسط الحسابي المركب والمتوسط التوافقي وما إلى ذلك.
يُمثل متوسط المجتمع بالرمز μ (مو) ومتوسط العينة بالرمز X̄ (X bar).
المتوسط البسيط
يحسب المتوسط البسيط بقسمة قيم مجموعة البيانات على العدد الإجمالي لعناصر البيانات. يُطلق على المتوسط البسيط أحياناً اسم المتوسط أو المتوسط الحسابي.
لحساب متوسط المجتمع، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
μ = مجموع قيم مجموعة البيانات / العدد الإجمالي لقيم البيانات في المجتمع = ΣX / N
لحساب متوسط العينة، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
X̄ = مجموع قيم مجموعة البيانات / العدد الإجمالي لقيم البيانات في العينة = ΣX/n
دعونا نتعلم المتوسط باستخدام المثال التالي.
مثال:
تُعرض درجات جاسمين في سبع مواد من الفصل الدراسي السابق في الجدول أدناه. ما هو متوسط درجات جاسمين في مواد الفصل الدراسي السابق؟
| المادة |
الدرجة |
| الإدارة |
84 |
| الاتصال |
90 |
| المحاسبة |
75 |
| الاقتصاد |
60 |
| إحصاء الأعمال |
85 |
| الدراسات الدولية |
92 |
| الرياضيات |
81 |
الحل:
متوسط الدرجة = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81
المتوسط مفهوم مألوف للجميع. الدخل المتوسط، وتكلفة الإنتاج المتوسطة، والأسعار المتوسطة، والدرجات المتوسطة، واستهلاك الوقود المتوسط، وما إلى ذلك، هي أمثلة قليلة قد تكون قد سمعتها كثيراً. حتى في الحياة اليومية، يكون المتوسط الحسابي البسيط حساباً قياسياً. يُعرف المتوسط البسيط أو المتوسط الحسابي البسيط أيضاً بالمتوسط المثالي.
ومع ذلك، في بعض المواقف نستخدم مقاييس أخرى للاتجاه المركزي. دعونا نلقي نظرة عليها.
المتوسط الهندسي
المتوسط الحسابي ليس قياساً مناسباً عند تحديد متوسط معدل النمو لقيمة معينة بمرور الوقت. المتوسط الهندسي، الذي يُستخدم كثيراً في المحاسبة والمال، مثل حساب الفائدة المركبة، هو مؤشر أفضل بكثير لهذا النوع من الحسابات. وذلك لأن معدل النمو يكون ضربياً وليس جمعياً.
متوسط مجموعة البيانات الهندسي يُعرَّف بأنه الجذر النوني لحاصل ضرب n عنصراً. يُحسب بضرب كل قيمة مع الأخرى ثم حساب الجذر النوني للحاصل، حيث n هو عدد العناصر في مجموعة البيانات. المتوسط الهندسي مفيد عند حساب متوسط النسب المئوية ومعدلات النمو.
المتوسط الهندسي = n√(x₁×x₂×x₃×…×xₙ) = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^(1/n)
سنحسب المتوسط الهندسي للمثال السابق.
المتوسط الهندسي = ⁷√(84×90×75×60×85×92×81) = 80.31
المتوسط الهندسي يكون دائماً أقل من أو يساوي المتوسط البسيط (المتوسط الحسابي).
في مثالنا:
المتوسط الهندسي ≤ المتوسط الحسابي
80.31 < 81
يمكنك استخدام حاسبة المتوسط لتحديد أكثر من مجرد المتوسط الحسابي. يمكنك أيضاً استخدامها للحصول على المتوسط الهندسي لمجموعة البيانات الخاصة بك.
المتوسط المرجح
في المتوسط الحسابي البسيط، تكون جميع القيم لها نفس الوزن أو الأهمية. ولكن في بعض الحالات لا يمكننا تطبيق نفس مستوى الأهمية لكل قيمة في مجموعة البيانات الخاصة بنا.
في مثالنا، حسبنا المتوسط بجمع جميع الدرجات وقسمتها على العدد الإجمالي للمواد. لم نأخذ في الاعتبار الأهمية النسبية لكل مادة.
يجب استخدام المتوسط المرجح عندما نحتاج إلى أخذ الأهمية النسبية لكل عنصر في مجموعة البيانات الخاصة بنا في الاعتبار عند حساب المتوسط. يُحسب المتوسط المرجح بقسمة القيم المرجحة على مجموع الأوزان. القيمة المرجحة هي قيمة البيانات مضروبة في الوزن المقابل.
يمكننا استخدام الصيغة التالية لإيجاد المتوسط المرجح.
المتوسط المرجح = مجموع القيم المرجحة / مجموع الأوزان = ΣWX / ΣW
مثال:
افترض أن لكل مادة في المثال السابق وزناً مختلفاً. إذن، جدول البيانات المحدث لدرجات جاسمين في 7 مواد من الفصل الدراسي السابق هو كما يلي.
المتوسط المرجح لدرجات جاسمين من الفصل الدراسي السابق:
| المادة |
الدرجة |
الوزن |
| الإدارة |
84 |
3 |
| الاتصال |
90 |
2 |
| المحاسبة |
75 |
4 |
| الاقتصاد |
60 |
3 |
| إحصاء الأعمال |
85 |
3 |
| الدراسات الدولية |
92 |
2 |
| الرياضيات |
81 |
3 |
الحل:
متوسط الدرجة المرجح = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7
الوسيط
الوسيط هو القيمة الوسطى لمجموعة بيانات عندما تُرتب تصاعدياً (من أقل قيمة إلى أعلى قيمة) أو تنازلياً (من أعلى قيمة إلى أقل قيمة). بمعنى آخر، الوسيط هو النقطة التي ينقسم فيها مصفوفة البيانات (المصفوفة هي ترتيب البيانات الأولية تصاعدياً أو تنازلياً حسب القيم) إلى جزأين متساويين. ونتيجة لذلك، 50% من القيم أقل من الوسيط، و50% من القيم أعلى من الوسيط.
طريقة حساب الوسيط
عند إيجاد الوسيط أولاً، علينا إيجاد موقع الوسيط باستخدام الصيغة التالية:
موقع الوسيط = ((n+1)/2) العنصر
الرمز "n" يشير إلى العدد الإجمالي للعناصر في مجموعة البيانات.
إذا كان العدد الإجمالي للعناصر في مجموعة البيانات فردياً، فإن قيمة العنصر في الموقع المركزي هي الوسيط. ولكن افترض أن العدد الإجمالي للعناصر في مجموعة البيانات هو رقم زوجي. في هذه الحالة، يكون المتوسط بين الرقمين في المنتصف هو الوسيط.
الفروق بين المتوسط والوسيط
- يُحسب المتوسط أو المتوسط بجمع جميع القيم في مجموعة البيانات ثم قسمتها على عدد الملاحظات. يعطينا قيمة تأخذ في الاعتبار كل نقطة في مجموعة البيانات. بينما الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة بيانات مرتبة من الأقل إلى الأعلى ويوفر نقطة مركزية تقسم مجموعة البيانات إلى نصفين، ولكنها لا تأخذ في الاعتبار حجم جميع القيم.
- يمكن تقدير كل من المتوسط والوسيط بصرياً من التمثيل البياني للبيانات. يمكن تقدير المتوسط تقريباً في توزيع متماثل حيث يجب أن يقع في المركز، بينما يمكن تحديد الوسيط كقيمة متوسطة في مخطط الصندوق، على سبيل المثال.
- لكل من المتوسط والوسيط استخداماته في التحليل الإحصائي المتقدم. يكون المتوسط مفيداً بشكل خاص للبيانات الموزعة بشكل طبيعي والتي لا تحتوي على قيم شاذة، حيث يتم تضمينه في حسابات التباين والانحراف المعياري. يكون الوسيط ذا قيمة كمقياس للاتجاه المركزي عندما تكون البيانات منحرفة أو تحتوي على قيم شاذة، ويُستخدم كثيراً في الاختبارات الإحصائية غير المعلمية التي لا تفترض توزيعاً محدداً للبيانات.
متى تستخدم المتوسط
المتوسط هو مقياس مناسب للاتجاه المركزي عندما تكون مجموعة البيانات موزعة بشكل متماثل دون قيم شاذة، أو عندما تمت إزالة القيم الشاذة.
متى تستخدم الوسيط
المتوسط ليس تمثيلاً جيداً لمجموعة البيانات عندما تكون منحرفة بقيم شاذة، أو عندما تكون مجموعة البيانات غير متماثلة، أو عندما تكون مجموعة البيانات منحرفة. القيم الشاذة هي نقاط بيانات أصغر أو أكبر بشكل كبير من القيم الأخرى في مجموعة البيانات. عندما تكون القيم الشاذة موجودة في مجموعة البيانات، يؤثر المتوسط أو المتوسط بشكل كبير على هذه القيم.
دعونا نعدل المثال السابق لفهم القيم الشاذة.
مثال:
افترض أن درجة جاسمين في الدراسات الدولية كانت 15 بدلاً من 92. ما هو متوسط درجات جاسمين في الفصل الدراسي السابق مع هذه الدرجة الجديدة؟
| المادة |
الدرجة |
| الإدارة |
84 |
| الاتصال |
90 |
| المحاسبة |
75 |
| الاقتصاد |
60 |
| إحصاء الأعمال |
85 |
| الدراسات الدولية |
15 |
| الرياضيات |
81 |
الحل:
متوسط الدرجة = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70
المتوسط الجديد هو 70. هذا انخفاض بمقدار 11 نقطة من المتوسط الأصلي 81. يمكنك رؤية تأثير القيمة الشاذة على المتوسط.
في هذه الحالة، يكون الوسيط للبيانات مقياساً أفضل للاتجاه المركزي من المتوسط. لفهم هذا، دعونا نحسب الوسيط لكلا المثالين الأصلي والمحسّن.