Was dieses Werkzeug berechnet
Dieser Rechner analysiert eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Wenn a von null verschieden ist, meldet er die Diskriminante und entweder zwei reelle Nullstellen oder eine Nachricht, dass die Nullstellen komplex sind. Wenn a null, b aber von null verschieden ist, behandelt er die Eingabe als lineare Gleichung und meldet ihre einzige Nullstelle.
Wenn sowohl a als auch b null sind, gibt es unter dieser Oberfläche keine einzelne lösbare Nullstelle. Die Eingabe wird zurückgewiesen, unabhängig davon, ob die verbleibende Aussage inkonsistent oder für jedes x wahr ist.
Eingaben
Geben Sie endliche reelle Koeffizienten a, b und c ein, einschließlich ihrer Vorzeichen. Geben Sie für einen fehlenden Term null an. Für x² − 3x + 2 = 0 geben Sie a = 1, b = −3, c = 2 ein.
Die Einheiten der Koeffizienten müssen mit der Bedeutung der Variablen übereinstimmen. Das Werkzeug führt nur numerische Algebra aus und leitet kein physikalisches Modell, keine Messunsicherheit und keine Domäneneinschränkungen wie die ab, dass x eine ganze Zahl oder nicht-negativ ist.
Methode und Formel
Berechnen Sie für a ≠ 0 zuerst die Diskriminante:
D = b² − 4ac
Wenn D ≥ 0, lauten die reellen Nullstellen:
x = (−b ± √D) ÷ (2a)
D > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Nullstellen; D = 0 ergibt dieselbe reelle Nullstelle zweimal. D < 0 weist auf ein konjugiert komplexes Paar hin, das diese Oberfläche kennzeichnet, aber nicht numerisch ausbreitet. Wenn a = 0 und b ≠ 0, lautet der Fallback x = −c ÷ b.
Durchgerechnetes Beispiel
Lösen Sie x² − 3x + 2 = 0. Die Koeffizienten sind 1, −3 und 2.
D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1. Daher:
- Nullstelle 1: (3 + 1) ÷ 2 = 2.
- Nullstelle 2: (3 − 1) ÷ 2 = 1.
Die Substitution prüft beide Antworten: 2² − 3(2) + 2 = 0 und 1² − 3(1) + 2 = 0. Für a = 0, b = 2, c = −4 liefert der lineare Fallback 2.
So interpretieren Sie das Ergebnis
Nullstellen sind x-Werte, bei denen der quadratische Ausdruck null ist. In einem Graphen sind reelle Nullstellen Schnittpunkte mit der x-Achse. Eine negative Diskriminante bedeutet, dass es keine reellen Schnittpunkte gibt, nicht dass die Gleichung im komplexen Zahlensystem keine Lösungen hat.
Wiederholte Nullstellen deuten in der grundlegenden Parabelinterpretation auf Tangenz zur Achse hin. Setzen Sie berechnete Werte immer in die ursprüngliche Gleichung ein, wenn Rundung oder Koeffizienteneingabe eine Rolle spielen könnten.
Genauigkeit und Einschränkungen
Gleitkomma-Arithmetik kann an Genauigkeit verlieren, wenn Koeffizienten sehr unterschiedliche Größenordnungen haben oder wenn nahezu gleiche Größen subtrahiert werden. Die herkömmliche Formel ist für die Bildung klar, aber nicht für jeden wissenschaftlichen Fall der numerisch stabilste Algorithmus. Die Anzeigerundung kann einen substituierten Restwert von null verschieden erscheinen lassen.
Die Seite zeigt keine komplexen Werte, keine symbolischen Faktoren, keine exakten Radikale, keine Scheitelpunktform, keine Einheiten und keine Unsicherheitsfortpflanzung. Sie erzwingt auch keine kontextuellen Einschränkungen für Nullstellen. Verwenden Sie für schlecht konditionierte oder sicherheitskritische Arbeiten eine numerische Bibliothek mit Stabilitätskontrollen.
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Quadratic Equations liefert institutionelles Referenzmaterial für algebraische Gleichungen und ihre numerische Behandlung.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Square Roots and Powers gibt die Wurzel- und Potenzkonventionen an, die in der Diskriminantenformel verwendet werden.
Redaktioneller Nachweis
Autor: SoupCalc-Redaktionsteam
Zuletzt geprüft: 14. August 2026
Prüfungsumfang: Diskriminantenzweige, reelle und komplexe Kennzeichnung, lineare Entartung, Gleitkommawarnung, Referenzlinks und das Beispiel mit den Nullstellen 2 und 1 wurden geprüft.