ما الذي تحسبه هذه الأداة
تحلل هذه الحاسبة معادلة مكتوبة على الصورة ax² + bx + c = 0. عندما تكون a غير صفرية، تُبلغ عن المميز وإما جذرين حقيقيين أو رسالة بأن الجذور مركبة. عندما تكون a صفرًا لكن b غير صفرية، تعامل المُدخل كمعادلة خطية وتُبلغ عن جذرها الوحيد.
إذا كانت كلتا a و b صفرًا، فلا يوجد جذر واحد قابل للحل تحت هذه الواجهة. يُرفض المُدخل سواء كانت العبارة المتبقية غير متسقة أو صحيحة لكل x.
المُدخلات
أدخل معاملات حقيقية منتهية a و b و c، بما في ذلك إشاراتها. قدم صفرًا للحد المفقود. لـ x² − 3x + 2 = 0، أدخل a = 1، b = −3، c = 2.
يجب أن تكون وحدات المعاملات متسقة مع معنى المتغير. تقوم الأداة بالجبر العددي فقط ولا تستنتج نموذجًا فيزيائيًا، أو عدم يقين القياس، أو قيود المجال مثل كون x عددًا صحيحًا أو غير سالب.
الطريقة والمعادلة
لـ a ≠ 0، احسب أولاً المميز:
D = b² − 4ac
إذا كان D ≥ 0، فالجذور الحقيقية هي:
x = (−b ± √D) ÷ (2a)
D > 0 يعطي جذرين حقيقيين مختلفين؛ D = 0 يعطي نفس الجذر الحقيقي مرتين. D < 0 يشير إلى زوج مرافق مركب، تسميه هذه الواجهة لكنها لا تفصله عدديًا. إذا كان a = 0 و b ≠ 0، فالاحتياطي هو x = −c ÷ b.
مثال تطبيقي
حل x² − 3x + 2 = 0. المعاملات هي 1، −3، و 2.
D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1. لذلك:
- الجذر 1: (3 + 1) ÷ 2 = 2.
- الجذر 2: (3 − 1) ÷ 2 = 1.
التحقق بالتعويض يؤكد كلا الإجابتين: 2² − 3(2) + 2 = 0 و 1² − 3(1) + 2 = 0. لـ a = 0، b = 2، c = −4، يُرجع الاحتياطي الخطي 2.
كيفية تفسير النتيجة
الجذور هي قيم x حيث تساوي العبارة التربيعية صفرًا. على الرسم البياني، الجذور الحقيقية هي نقاط تقاطع المحور x. المميز السالب يعني أنه لا توجد تقاطعات حقيقية، وليس أن المعادلة ليس لها حلول في نظام الأعداد المركبة.
الجذور المتكررة تشير إلى تماس مع المحور في تفسير القطع المكافئ الأساسي. عوّض دائمًا القيم المحسوبة في المعادلة الأصلية عندما يكون التقريب أو إدخال المعاملات مهمًا.
الدقة والقيود
يمكن أن يفقد حساب الفاصلة العائمة الدقة عندما يكون للمعاملات مقادير مختلفة جدًا أو عند طرح كميات متساوية تقريبًا. الصيغة التقليدية واضحة للتعليم ولكنها ليست الخوارزمية العددية الأكثر استقرارًا لكل حالة علمية. تقريب العرض يمكن أن يجعل الباقي المعوض يبدو غير صفري.
الصفحة لا تظهر القيم المركبة، أو العوامل الرمزية، أو الجذور الصماء الدقيقة، أو صيغة الرأس، أو الوحدات، أو نشر عدم اليقين. كما أنها لا تفرض قيودًا سياقية على الجذور. استخدم مكتبة عددية مع ضوابط استقرار للعمل سيئ التكييف أو الحرج للسلامة.
المصادر
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Quadratic Equations يوفر مادة مرجعية مؤسسية للمعادلات الجبرية ومعالجتها العددية.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Square Roots and Powers يعطي اتفاقيات الجذر والقوى المستخدمة في معادلة المميز.
السجل التحريري
المؤلف: SoupCalc Editorial Team
آخر مراجعة: 14 أغسطس 2026
نطاق المراجعة: فروع المميز، والتسمية الحقيقية والمركبة، والانحطاط الخطي، وتحذير الفاصلة العائمة، وروابط المراجع، ومثال الجذرين 2 و 1 تم فحصها.