本工具计算什么
本计算器汇总一个数值列表，给出计数和算术平均数，然后报告总体方差、样本方差、总体标准差和样本标准差。同时呈现两种分母约定，可防止结果被简单标注为"标准差"而不说明其角色。
总体度量将输入值描述为感兴趣的完整总体。样本度量使用旨在根据样本估计总体方差的校正。仅有一个观测值时，样本方差和样本标准差未定义。
输入项
输入以逗号、空格、分号或换行分隔的有限数值。使用一种测量定义和兼容单位。重复观测值保留在列表中。
空输入被拒绝。该工具不识别缺失值标记、权重、频数表或小数点逗号。请清理并记录数据，而非让无效标记静默消失。
方法与公式
对于 n 个值，平均数为 x̄，计算平方偏差 (xᵢ − x̄)²。
总体方差 = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n
样本方差 = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
每个标准差是其对应方差的非负平方根。方差具有平方单位；标准差回到原始测量单位。样本公式至少需要两个观测值。
运算示例
输入 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9。共有 8 个观测值，其平均数为 5。
平方偏差之和为 32。总体方差为 32 ÷ 8 = 4，因此总体标准差为 √4 = 2。样本方差为 32 ÷ 7 ≈ 4.571429，得到样本标准差 ≈ 2.13809。
因此输出包含计数 8，平均数 5，总体方差 4，总体标准差 2，以及样本标准差 2.13809。
如何解读结果
标准差衡量围绕算术平均数的散布程度。示例中的值 2 意味着在总体约定下，偏差的均方根尺度为 2 个单位。这不意味着每个观测值都在 2 个单位内，也不意味着分布是正态的。
当列表恰好是所描述的完整组时，选择总体列。当观测值被视为样本且推断性假设适用时，选择样本列。在报告中声明约定。
准确性及局限性
标准差对离群值敏感，对于严重偏斜或多模态数据可能具有误导性。计算器不评估正态性、抽样独立性、偏差、不确定性、置信区间，也不评估平均数是否是有意义的中心。
浮点运算和直接的双遍式计算可能因极端量级而损失精度。该工具不是任意精度统计软件包。在得出结论之前，请审查收集设计、可视化分布并保留原始数据。
参考来源
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Standard Deviation 定义并解释了标准差作为尺度度量的含义。
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Measures of Scale 提供了方差和替代散布汇总的更广泛背景。
编辑记录
作者：SoupCalc 编辑团队
最后审核日期：2026年8月14日
审核范围：总体和样本分母、单位解释、单值限制、分布注意事项、NIST 参考以及八值示例均已核对。