本工具计算什么
本计算器分析写为 ax² + bx + c = 0 的方程。当 a 非零时，它报告判别式以及两个实根或根为复数的消息。当 a 为零但 b 非零时，它将输入视为线性方程并报告其单根。
如果 a 和 b 均为零，则在此界面下没有可求解的单根。无论剩余语句是不一致的还是对所有 x 成立，输入均被拒绝。
输入项
输入有限实系数 a、b 和 c，包括其符号。缺失项输入零。对于 x² − 3x + 2 = 0，输入 a = 1，b = −3，c = 2。
系数单位必须与变量的含义一致。该工具仅执行数值代数，不推断物理模型、测量不确定性或域限制（如 x 为整数或非负）。
方法与公式
当 a ≠ 0 时，首先计算判别式：
D = b² − 4ac
如果 D ≥ 0，实根为：
x = (−b ± √D) ÷ (2a)
D > 0 给出两个不同实根；D = 0 给出相同的实根（重根）。D < 0 表示复共轭对，本界面标注但不展开数值。如果 a = 0 且 b ≠ 0，回退为 x = −c ÷ b。
运算示例
求解 x² − 3x + 2 = 0。系数为 1、−3 和 2。
D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1。因此：
- 根 1：(3 + 1) ÷ 2 = 2。
- 根 2：(3 − 1) ÷ 2 = 1。
代入验证两个答案：2² − 3(2) + 2 = 0 和 1² − 3(1) + 2 = 0。对于 a = 0，b = 2，c = −4，线性回退返回 2。
如何解读结果
根是使二次表达式等于零的 x 值。在图形上，实根是 x 轴交点。负判别式表示没有实交点，而非方程在复数系统中没有解。
重根表示在基本抛物线解释中与轴相切。当舍入或系数输入可能影响时，始终将计算值代入原方程验证。
准确性及局限性
当系数量级差异很大或减去几乎相等的量时，浮点运算可能损失精度。传统公式在教育上清晰，但并非每种科学场景下数值最稳定的算法。显示舍入可能使代入残差看起来非零。
页面不显示复数值、符号因式、精确根式、顶点形式、单位或不确定性传播。也不对根施加上下文约束。对于病态或安全关键的工作，请使用具有稳定性控制的数值库。
参考来源
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Quadratic Equations 提供了代数方程及其数值处理的机构参考资料。
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Square Roots and Powers 给出了判别式公式中使用的根和幂约定。
编辑记录
作者：SoupCalc 编辑团队
最后审核日期：2026年8月14日
审核范围：判别式分支、实数和复数标注、线性退化、浮点注意、参考链接以及根 2 和 1 示例均已核对。