本工具計算什麼
本計算器以個數與算術平均數來彙總一個數字清單，然後報告母體變異數、樣本變異數、母體標準差與樣本標準差。同時呈現兩種分母慣例，可防止結果被簡單標記為「標準差」而未說明其角色。
母體指標將輸入的值描述為完整的關注母體。樣本指標使用旨在從樣本估計母體變異數的修正。當只有一個觀測值時，樣本變異數與樣本標準差無法定義。
輸入欄位
輸入以逗號、空格、分號或換行分隔的有限數字。請使用一種測量定義與相容的單位。重複的觀測值仍屬於清單的一部分。
空白輸入會被拒絕。本工具無法識別缺失值標記、權重、次數分配表或小數逗號。請清理並記錄資料，而非讓無效記號在未被注意的情況下消失。
方法與公式
對於 n 個數值，平均值為 x̄，計算平方離差 (xᵢ − x̄)²。
母體變異數 = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n
樣本變異數 = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
每個標準差為其對應變異數的非負平方根。變異數具有平方單位；標準差回到原始測量單位。樣本公式需要至少兩個觀測值。
計算範例
輸入 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9。共有 8 個觀測值，其平均值為 5。
平方離差總和為 32。母體變異數為 32 ÷ 8 = 4，因此母體標準差為 √4 = 2。樣本變異數為 32 ÷ 7 ≈ 4.571429，得出樣本標準差 ≈ 2.13809。
因此，輸出包含個數 8、平均值 5、母體變異數 4、母體標準差 2，以及樣本標準差 2.13809。
如何解讀結果
標準差衡量的是圍繞算術平均數的散佈。範例中的值 2 表示在母體慣例下，離差具有 2 個單位的均方根尺度。這並不意味著每個觀測值都在 2 個單位內，或分佈為常態。
當清單恰好為被描述的完整群體時，選擇母體欄。當觀測值被視為樣本且推論假設適用時，選擇樣本欄。在報告中請說明所使用的慣例。
準確性與限制
標準差對離群值敏感，對強烈偏態或多峰資料可能產生誤導。本計算器不會評估常態性、抽樣獨立性、偏差、不確定性、信賴區間，或平均值是否為有意義的中心。
浮點算術與直接的兩趟式計算對極端量級可能喪失精度。本工具並非任意精度的統計套件。在得出結論前，請審查收集設計、視覺化分佈，並保留原始資料。
資料來源
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Standard Deviation 定義並解釋了作為尺度指標的標準差。
- NIST/SEMATECH e-Handbook, Measures of Scale 為變異數與替代的散佈摘要提供更廣泛的背景。
編輯記錄
作者：SoupCalc 編輯團隊
最後審閱日期：2026年8月14日
審閱範圍：母體與樣本分母、單位解釋、單一數值限制、分佈注意事項、NIST 參考文獻，以及八個數值的範例，均已核對。