本工具計算什麼
本計算器分析寫作 ax² + bx + c = 0 的方程式。當 a 為非零時，它報告判別式以及兩個實數根，或顯示根為複數的訊息。當 a 為零但 b 為非零時，它將輸入視為線性方程式，並報告其單一根。
若 a 與 b 均為零，則在此介面下不存在單一可解的根。無論剩餘的陳述是不一致還是對每個 x 均成立，該輸入都會被拒絕。
輸入欄位
輸入有限的實數係數 a、b 與 c，包括其正負號。對於缺失的項，請提供零。對於 x² − 3x + 2 = 0，輸入 a = 1、b = −3、c = 2。
係數的單位必須與變數的含義一致。本工具僅執行數值代數，不會推斷物理模型、測量不確定性或領域限制，例如 x 為整數或非負。
方法與公式
對於 a ≠ 0，首先計算判別式：
D = b² − 4ac
若 D ≥ 0，實數根為：
x = (−b ± √D) ÷ (2a)
D > 0 給出兩個相異實數根；D = 0 給出相同的實數根兩次。D < 0 表示一對共軛複數根，本介面會標記此情況，但不會以數值展開。若 a = 0 且 b ≠ 0，退化解為 x = −c ÷ b。
計算範例
求解 x² − 3x + 2 = 0。係數為 1、−3 與 2。
D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1。因此：
- 根 1：(3 + 1) ÷ 2 = 2。
- 根 2：(3 − 1) ÷ 2 = 1。
代入檢查確認兩個答案：2² − 3(2) + 2 = 0 以及 1² − 3(1) + 2 = 0。對於 a = 0、b = 2、c = −4，線性退化解回傳 2。
如何解讀結果
根是使二次表達式等於零的 x 值。在圖形上，實數根為 x 軸交點。負判別式表示沒有實數交點，而非該方程式在複數系統中沒有解。
重根表示在基本拋物線解釋中與軸相切。當四捨五入或係數輸入可能產生影響時，請務必將計算出的值代入原始方程式進行檢查。
準確性與限制
當係數的量級差異非常大，或減去幾乎相等的量時，浮點算術可能喪失精度。該傳統公式對教育用途清晰明瞭，但對每個科學案例而言並非最穩定的數值演算法。顯示四捨五入可能使代入殘差看起來非零。
本頁面不會顯示複數值、符號因式、精確根式、頂點形式、單位或不確定性傳播。它也不會強制執行根的情境約束。對於條件不佳或安全關鍵的工作，請使用具有穩定性控制的數值程式庫。
資料來源
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Quadratic Equations 為代數方程式及其數值處理提供機構參考資料。
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Square Roots and Powers 提供判別式公式中所使用的根與冪次慣例。
編輯記錄
作者：SoupCalc 編輯團隊
最後審閱日期：2026年8月14日
審閱範圍：判別式分支、實數與複數標記、線性退化、浮點注意事項、參考文獻連結，以及根 2 與 1 的範例，均已核對。