Что рассчитывает этот инструмент
Этот калькулятор анализирует уравнение, записанное в виде ax² + bx + c = 0. Когда a не равно нулю, он сообщает дискриминант и либо два вещественных корня, либо сообщение о том, что корни комплексные. Когда a равно нулю, но b не равно нулю, он рассматривает ввод как линейное уравнение и сообщает его единственный корень.
Если и a, и b равны нулю, разрешимого единственного корня в рамках данного интерфейса не существует. Ввод отклоняется, независимо от того, является ли оставшееся утверждение противоречивым или истинным для любого x.
Входные данные
Введите конечные вещественные коэффициенты a, b и c, включая их знаки. Укажите ноль для отсутствующего члена. Для x² − 3x + 2 = 0 введите a = 1, b = −3, c = 2.
Единицы коэффициентов должны быть согласованы со смыслом переменной. Инструмент выполняет только числовую алгебру и не определяет физическую модель, неопределённость измерения или ограничения области определения, такие как x — целое или неотрицательное.
Метод и формула
Для a ≠ 0 сначала вычислите дискриминант:
D = b² − 4ac
Если D ≥ 0, вещественные корни равны:
x = (−b ± √D) ÷ (2a)
D > 0 даёт два различных вещественных корня; D = 0 даёт один и тот же вещественный корень дважды. D < 0 указывает на комплексно-сопряжённую пару, которую данный интерфейс обозначает, но не раскрывает численно. Если a = 0 и b ≠ 0, резервный вариант: x = −c ÷ b.
Практический пример
Решите x² − 3x + 2 = 0. Коэффициенты: 1, −3 и 2.
D = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 1. Следовательно:
- Корень 1: (3 + 1) ÷ 2 = 2.
- Корень 2: (3 − 1) ÷ 2 = 1.
Подстановка проверяет оба ответа: 2² − 3(2) + 2 = 0 и 1² − 3(1) + 2 = 0. Для a = 0, b = 2, c = −4 линейный резервный вариант возвращает 2.
Как интерпретировать результат
Корни — это значения x, при которых квадратичное выражение равно нулю. На графике вещественные корни являются точками пересечения с осью x. Отрицательный дискриминант означает, что вещественных пересечений нет, а не что уравнение не имеет решений в системе комплексных чисел.
Кратные корни указывают на касание к оси в базовой интерпретации параболы. Всегда подставляйте вычисленные значения в исходное уравнение, когда округление или ввод коэффициентов могут иметь значение.
Точность и ограничения
Арифметика с плавающей запятой может терять точность, когда коэффициенты имеют сильно различающиеся порядки величин или когда вычитаются почти равные величины. Общепринятая формула ясна для образования, но не является наиболее устойчивым численным алгоритмом для каждого научного случая. Округление отображения может сделать подставленный остаток ненулевым.
Страница не показывает комплексные значения, символические множители, точные радикалы, вершинную форму, единицы измерения или распространение неопределённости. Она также не налагает контекстных ограничений на корни. Используйте числовую библиотеку с контролем устойчивости для плохо обусловленных или критически важных для безопасности задач.
Источники
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Quadratic Equations предоставляет официальный справочный материал по алгебраическим уравнениям и их численной обработке.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, Square Roots and Powers даёт соглашения о корнях и степенях, используемые в формуле дискриминанта.
Редакционная запись
Автор: Редакционная группа SoupCalc
Дата последней проверки: 14 августа 2026 г.
Объём проверки: Ветви дискриминанта, обозначение вещественных и комплексных корней, линейное вырождение, предупреждение о плавающей запятой, ссылки на источники и пример с корнями 2 и 1 были проверены.